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LES ONDES ELECTROMAGNETIQUES
I- LES EQUATIONS DE PROPAGATION DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE
I-1. Propagation dans le vide
Reprenons les équations de Maxwell dans le vide:
divE=(p/eo),
divB=0,
Rot E = -(dB/dt),
Rot B = µo{J+(eo dE/dt)}.
De la troisième équation, on tire:
Rot.Rot E = -Rot(dB/dt)= -(d/dt)[µo{J+(eo dE/dt)}
En posant 1/(eo.µ0)=c², on obtient l'équation de propagation du champ électrique dans le vide:
(N.B.: A représente la lettre grecque "delta" majuscule)
AE-[(1/c²)(d²E/dt²)]=µo(dJ/dt)+[(1/eo)grad.p]
De même à partir de la quatrième équation, on obtient:
AB-[(1/c²)(d²B/dt²)]=-µo.Rot J
ou AH-[(1/c²)(d²H/dt²)]= - Rot J.
Cas particulier: Si p=0 et J=0, alors:
AE-[(1/c²)(d²E/dt²)]=0, et
AE-[(1/c²)(d²H/dt²)]=0.
I-2. Propagation dans un milieu matériel l, h, i (Linéaire, Homogène et Isotrope).
Dans un tel milieu, nous avons D=e.E et B=µH.
Les équations de Maxwell s'écrivent:
divD = pl,
divB = 0,
Rot E = -(dB/dt) = -µ(dH/dt),
Rot H = Jl + (dD/dt).
Si Y est la conductivité du milieu, on obtient:
Rot H= Y.E + (e.dE/dt) et compte tenu de l'équation 3: AH-(Y.µ.dH/dt)-(e.µ.d²H/dt²)=0
En procédant de même avec E ou D, on trouve:
AE-(Y.µ.dE/dt)-(e.µ.d²E/dt²)=grad(pl/E)
Si le milieu est non chargé, pl=0, alors:
AE-(Y.µ.dE/dt)-(e.µ.d²E/dt²)=0.
II- LES ONDES ELECTROMAGNETIQUES
II-1. Rappel sur les ondes
Si une grandeur physique générée par une source se propage sans transport de matière, elle constitue une onde (cette grandeur peut être scalaire ou vectorielle). La grandeur physique peut avoir des aspects très différents: position d'un point, champ électromagnétique, etc...
D'une manière générale, la grandeur physique se propageant est fonction de la position du point où on la mesure et de la variable temps. La fonction représentant cette grandeur à tout instant et en tout point de l'espace est la fonction d'onde.
.Onde se propageant le long d'un axe Ox à la vitesse v (ou onde progressive):
Z(M;t)=Z(t+-x/v)
.Onde se propageant dans tout l'espace en un point tel que OM=r:
Z(M;t)=Z(t+-r/v)
.Onde stationnaire: c'est une fonction Z(M;t)=f(t).g(M) (séparation de variables)
Nous distinguerons (pour une grandeur vectorielle):
-Ondes longitudinales, la grandeur physique varie dans une direction parallèle à la vitesse
-Ondes transversales, la grandeur physique varie dans une direction perpendiculaire à la vitesse v.
Nous définirons la surface d'onde comme étant le lieu des points où à chaque instant on a: Z=Cte.
Deux types de surface:
.Surface d'onde plane: Z=f(t-r/v)=f(t-u.r/v)
.Surface d'onde sphérique:Z=1/r.f(t-r/v)
Ces fonctions d'ondes sont solutions de l'équation différentielle dite équation de propagation de l'onde: AZ-(1/v²)(d²Z/dt²)=0.
Une grandeur vectorielle se propageant en gardant toujours la même direction, est polarisée rectilignement.
Si l'extrémité du vecteur décrit une ellipse, l'onde est polarisée elliptiquement dont le cas particulier est celui d'une onde à polarisation circulaire.
Nous ferons souvent appel à l'Onde Plane Polarisée Rectilignement (OPPR): la surface d'onde de l'OPPR est un plan et les vecteurs vibrent parallèlement à une direction fixe.
II-2. Ondes électromagnétiques-Propagation de l'énergie
Nous avons montré que E, B et H satisfont à des équations différentielles du type:
AF-(1/v²)(d²F/dt²)=G où G est une fonction source.
G=0 en l'absence de charges et de courants. Donc ces grandeurs se propagent dans l'espace. Si il y a propagation simultanée du champ électrique et du champ magnétique, on a alors une onde électromagnétique. Du point de vue énergétique, cette propagation correspond à une propagation de l'énergie. En effet:
Rot E = -(dB/dt) = -µo(dH/dt) dans le cas d'un l,h,i où µ=µo.
Rot H = J + (e.dE/dt)
Or: -div(E^H)=(e.Rot H)-(H.Rot E)
=(E.J)+(E.EdE/dt)+(µoH.dH/dt)
=(E.J)+[(d/dt)[(e.E²/2)+(µo.H²/2)]]
Le terme entre parenthèses représente la densité d'énergie électromagnétique w:
W=S[(e.E²/2)+(µo.H²/2)]dT = SwdT
et -div(E^H)=(E.J)+(dw/dt). Or J=p.v=p(dr/dt)et
E.J dt=p.dT.E(dr/dt)=dWe/dt = travail du champ dans le déplacement d'une charge dq=p.dT pendant le temps dt.
On en déduit:
S(E^H)dS = -[(dWe/dt)+(dW/dt)].
Posons E^H = R vecteur de Poynting. (Voir page suivante sur ce sujet).
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